פסיפס 15D - Ai

לפיתוח משוואת המסלול המתאימה לזריקה משופעת נתייחס למקרה כללי של גוף הנזרק בזווית «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨22px¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#945;«/mi»«/mstyle»«/math» מעל האופק במהירות «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨24px¨»«msub»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#007F00¨»V«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»0«/mn»«/msub»«/mstyle»«/math».

נתאר את התנועה בעזרת מערכת צירים שראשיתה בנקודת הזריקה וכיוון הציר האנכי כלפי מעלה. כמוראה באיור הבא:

נשתמש בעיקרון אי תלות התנועות, נכתוב את פונקציית המקום כתלות בזמן לכל אחת משתי התנועות. 

בכיוון האנכי הגוף נע בזריקה אנכית כלפי מעלה, במהירות התחלתית השווה לרכיב מהירות הזריקה בכיוון האנכי «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨24px¨»«msub»«msub»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#007F00¨»V«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»0«/mn»«/msub»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»y«/mi»«/msub»«/mstyle»«/math»:

נכתוב את פונקציית המקום כתלות בזמן לתנועה האנכית:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle indentalign=¨left¨ mathsize=¨22px¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»Y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»t«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»Y«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»+«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»V«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»t«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»+«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»t«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»2«/mn»«/msup»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»Y«/mi»«mrow mathcolor=¨#0000FF¨»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»t«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»0«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»+«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»V«/mi»«mrow mathcolor=¨#0000FF¨»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«mi mathvariant=¨bold¨»Y«/mi»«/mrow»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»t«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»+«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»-«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»g«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»t«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»2«/mn»«/msup»«mspace linebreak=¨newline¨/»«menclose mathcolor=¨#0000FF¨ notation=¨box¨»«mi mathvariant=¨bold¨»Y«/mi»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»t«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»V«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»sin«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»t«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mfrac»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»g«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»t«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/menclose»«/mstyle»«/math»

בכיוון האופקי הגוף נע במהירות קבועה השווה לרכיב האופקי של מהירות הזריקה.

נכתוב את פונקציית המקום כתלות בזמן לתנועה האופקית:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle indentalign=¨left¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨ mathsize=¨22px¨»X«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨ mathsize=¨22px¨»=«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨ mathsize=¨22px¨»X«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨22px¨ mathcolor=¨#0000FF¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨ mathsize=¨22px¨»+«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨ mathsize=¨22px¨»V«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨ mathsize=¨22px¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨ mathsize=¨22px¨»t«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨ mathsize=¨22px¨»§#160;«/mo»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨ mathsize=¨22px¨»X«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨ mathsize=¨22px¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨ mathsize=¨22px¨»0«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨ mathsize=¨22px¨»+«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨ mathsize=¨22px¨»V«/mi»«mrow mathcolor=¨#0000FF¨»«mn mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨22px¨»0«/mn»«mi mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨22px¨»X«/mi»«/mrow»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨ mathsize=¨22px¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨ mathsize=¨22px¨»t«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨ mathsize=¨22px¨»§#160;«/mo»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mspace linebreak=¨newline¨/»«menclose mathcolor=¨#0000FF¨ notation=¨box¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨22px¨»X«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨22px¨»=«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨22px¨»V«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨22px¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨22px¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨22px¨»cos«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨22px¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨22px¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨22px¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨22px¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨22px¨»t«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨22px¨»§#160;«/mo»«/menclose»«/mstyle»«/math»

נבטא את זמן התנועה מהתנועה האופקית: 

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle indentalign=¨left¨ mathsize=¨22px¨»«mrow mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»X«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»V«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»cos«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»t«/mi»«/mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»§#8658;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»t«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mfrac»«mi mathvariant=¨bold¨»X«/mi»«mrow»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»V«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»cos«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mspace linebreak=¨newline¨/»«/mrow»«/mstyle»«/math»

נציב את זמן התנועה בפונקציית המקום כתלות בזמן האנכית:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle indentalign=¨left¨ mathsize=¨22px¨»«mrow mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨»Y«/mi»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»t«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»V«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»sin«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»t«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mfrac»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»g«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»t«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»t«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#FF0000¨»«mi mathvariant=¨bold¨»X«/mi»«mrow»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»V«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»cos«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mrow mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨»Y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»V«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«/menclose»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»sin«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mfrac mathcolor=¨#FF0000¨»«mi mathvariant=¨bold¨»X«/mi»«mrow»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»V«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«/menclose»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»cos«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«/mfrac»«mo mathcolor=¨#FF0000¨ mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mfrac»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»g«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mstyle mathvariant=¨bold¨»«mo stretchy=¨true¨»(«/mo»«mfrac mathcolor=¨#FF0000¨»«mi»X«/mi»«mrow»«msub»«mi»V«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«mo»§#183;«/mo»«mi»cos«/mi»«mo»(«/mo»«mi»§#945;«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mfrac»«mo stretchy=¨true¨»)«/mo»«/mstyle»«msup»«mo mathcolor=¨#FF0000¨ mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»Y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»X«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»sin«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«/mrow»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»cos«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»-«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»g«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mstyle mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»«mfrac mathcolor=¨#FF0000¨»«msup»«mi»X«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mrow»«msup»«msub»«mi»V«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#183;«/mo»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»(«/mo»«mi»§#945;«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»§#160;«/mo»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mspace linebreak=¨newline¨/»«menclose mathcolor=¨#0000FF¨ notation=¨box¨»«mi mathvariant=¨bold¨»Y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»X«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»tan«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mstyle mathvariant=¨bold¨»«mfrac»«mrow»«mi»g«/mi»«mo»§#183;«/mo»«msup»«mi»X«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#183;«/mo»«msup»«msub»«mi»V«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#183;«/mo»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»(«/mo»«mi»§#945;«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«/menclose»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mspace linebreak=¨newline¨/»«/mstyle»«/math»