פסיפס 15D - Ai

משוואת מסלול

משוואת המסלול מתארת את כל הנקודות דרכן חולף הגוף בתנועתו.

המשוואה הבאה היא משוואת המסלול של גוף הנע בזריקה משופעת (זריקה בזווית).

                                   «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨22px¨»«menclose mathcolor=¨#0000FF¨ notation=¨box¨»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»X«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»tan«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mfrac»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»g«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»X«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«msup»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»cos«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/menclose»«/mstyle»«/math»

ניתן לפתח את הפונקציה מביטוי זמן התנועה מפונקציית המקום כתלות בזמן של התנועה האופקית והצבתו בפונקציית המקום כתלות בזמן של התנועה האנכית.

לדוגמה: כדור נזרק בזווית 40 מעלות מעל האופק  לסל. המרחק האופקי בין הסל לנקודת הזריקה הוא 3 מטרים, והמרחק האנכי בין הכדור לסל הוא 2 מטרים, כמוראה באיור הבא:

נחשב את גודל מהירות זריקה הכדור כך שהוא יחלוף דרך הסל (נתייחס לסל ולכדור כאל גופים נקודתיים).

 נתאר את תנועת הכדור ביחס למערכת הצירים הנתונה באיור הבא:

נחשב את גודל מהירות זריקת הכדור הדרוש כדי שהכדור יכנס לסל, נשתמש במשוואת המסלול המתאימה לזריקה בזווית:

 «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨22px¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»X«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»tan«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»-«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»g«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»X«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«msup»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»cos«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«/mfrac»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»g«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»X«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«msup»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»cos«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»X«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»tan«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»-«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»Y«/mi»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«msup»«msub mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»cos«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»g«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»X«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»X«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»tan«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»Y«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mspace linebreak=¨newline¨/»«msub mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«msqrt mathcolor=¨#0000FF¨»«mfrac»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»g«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»X«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»cos«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mstyle mathvariant=¨bold¨»«mo stretchy=¨true¨»(«/mo»«mrow»«mi»X«/mi»«mo»§#183;«/mo»«mi»tan«/mi»«mo»(«/mo»«mi»§#945;«/mi»«mo»)«/mo»«mo»-«/mo»«mi»Y«/mi»«/mrow»«mo stretchy=¨true¨»)«/mo»«/mstyle»«/mrow»«/mfrac»«/msqrt»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«msqrt mathcolor=¨#0000FF¨»«mfrac»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»10«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«msup»«mn mathvariant=¨bold¨»5«/mn»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»cos«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»40«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mstyle mathvariant=¨bold¨»«mo stretchy=¨true¨»(«/mo»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mi»tan«/mi»«mo»(«/mo»«mn»40«/mn»«mo»)«/mo»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«mo stretchy=¨true¨»)«/mo»«/mstyle»«/mrow»«/mfrac»«/msqrt»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«msqrt mathcolor=¨#0000FF¨»«mfrac»«mn mathvariant=¨bold¨»250«/mn»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨».«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»173«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mstyle mathvariant=¨bold¨»«mo stretchy=¨true¨»(«/mo»«mrow»«mn»4«/mn»«mo».«/mo»«mn»19«/mn»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«mo stretchy=¨true¨»)«/mo»«/mstyle»«/mrow»«/mfrac»«/msqrt»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mspace linebreak=¨newline¨/»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«msqrt mathcolor=¨#0000FF¨»«mfrac»«mn mathvariant=¨bold¨»250«/mn»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨».«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»39«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/msqrt»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«msqrt mathcolor=¨#0000FF¨»«mn mathvariant=¨bold¨»178«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨».«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»73«/mn»«/msqrt»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»13«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨».«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»36«/mn»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨»m«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»s«/mi»«/mfrac»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mspace linebreak=¨newline¨/»«/mstyle»«/math»

לסיכום: כדי שהכדור יכנס לסל גודל מהירותו צריכה להיות 13.36 מטר לשנייה.

שימו לב:

1. משוואת מסלול זו מתאימה למערכת צירים שראשיתה בנקודה ממנה נזרק הגוף, כיוון הציר האופקי בכיוון רכיב מהירות הזריקה בכיוון האופקי וכיוון הציר האנכי כלפי מעלה.

2. ממשוואת המסלול ניתן לראות שמסלול תנועתו של גוף הנזרק בזריקה משופעת הוא פרבולי, ואוסף הנקודות דרכן הגוף יעבור תלוי במהירות הזריקה ובתאוצת הכובד g בלבד.

3. במקרה פרטי כאשר זווית זריקת הגוף היא אפס ממשוואת המסלול של זריקה משופעת מתקבלת משוואת המסלול של זריקה אופקית ביחס לציר שכיוונו כלפי מעלה.

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨22px¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»Y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»X«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»tan«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»(«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»0«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»-«/mo»«mfrac mathcolor=¨#FF0000¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»g«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»X«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«msup»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»cos«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»§#8658;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»Y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»-«/mo»«mfrac mathcolor=¨#FF0000¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»g«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»X«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«msup»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math»

4. אין משמעות מתמטית למשוואת המסלול כאשר זווית הזריקה היא 90 מעלות(הערך המכנה של המחסר שווה לאפס) , כאשר זווית הזריקה היא 90 מעלות הגוך נזרק בכיוון אנכי, נע בקו ישר ולא במישור. 

5. במקרים בהם השאלה לא עוסקת בצורה מפורשת בזמן התנועה בד"כ קל לפתור את השאלה בעזרת משוואת המסלול.

6. משוואת המסלול לא נתונה בדפי בנוסחאות, לפני השימוש במשוואת המסלול יש לפתח אותה.

פיתוח משוואת המסלול לזריקה משופעת

לפיתוח משוואת המסלול המתאימה לזריקה משופעת נתייחס למקרה כללי של גוף הנזרק בזווית «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨22px¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#945;«/mi»«/mstyle»«/math» מעל האופק במהירות «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨24px¨»«msub»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#007F00¨»V«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»0«/mn»«/msub»«/mstyle»«/math».

נתאר את התנועה בעזרת מערכת צירים שראשיתה בנקודת הזריקה וכיוון הציר האנכי כלפי מעלה. כמוראה באיור הבא:

נשתמש בעיקרון אי תלות התנועות, נכתוב את פונקציית המקום כתלות בזמן לכל אחת משתי התנועות. 

בכיוון האנכי הגוף נע בזריקה אנכית כלפי מעלה, במהירות התחלתית השווה לרכיב מהירות הזריקה בכיוון האנכי «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨24px¨»«msub»«msub»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#007F00¨»V«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»0«/mn»«/msub»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»y«/mi»«/msub»«/mstyle»«/math»:

נכתוב את פונקציית המקום כתלות בזמן לתנועה האנכית:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle indentalign=¨left¨ mathsize=¨22px¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»Y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»t«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»Y«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»+«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»V«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»t«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»+«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»t«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»2«/mn»«/msup»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»Y«/mi»«mrow mathcolor=¨#0000FF¨»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»t«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»0«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»+«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»V«/mi»«mrow mathcolor=¨#0000FF¨»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«mi mathvariant=¨bold¨»Y«/mi»«/mrow»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»t«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»+«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»-«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»g«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»t«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»2«/mn»«/msup»«mspace linebreak=¨newline¨/»«menclose mathcolor=¨#0000FF¨ notation=¨box¨»«mi mathvariant=¨bold¨»Y«/mi»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»t«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»V«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»sin«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»t«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mfrac»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»g«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»t«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/menclose»«/mstyle»«/math»

בכיוון האופקי הגוף נע במהירות קבועה השווה לרכיב האופקי של מהירות הזריקה.

נכתוב את פונקציית המקום כתלות בזמן לתנועה האופקית:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle indentalign=¨left¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨ mathsize=¨22px¨»X«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨ mathsize=¨22px¨»=«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨ mathsize=¨22px¨»X«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨22px¨ mathcolor=¨#0000FF¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨ mathsize=¨22px¨»+«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨ mathsize=¨22px¨»V«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨ mathsize=¨22px¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨ mathsize=¨22px¨»t«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨ mathsize=¨22px¨»§#160;«/mo»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨ mathsize=¨22px¨»X«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨ mathsize=¨22px¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨ mathsize=¨22px¨»0«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨ mathsize=¨22px¨»+«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨ mathsize=¨22px¨»V«/mi»«mrow mathcolor=¨#0000FF¨»«mn mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨22px¨»0«/mn»«mi mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨22px¨»X«/mi»«/mrow»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨ mathsize=¨22px¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨ mathsize=¨22px¨»t«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨ mathsize=¨22px¨»§#160;«/mo»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mspace linebreak=¨newline¨/»«menclose mathcolor=¨#0000FF¨ notation=¨box¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨22px¨»X«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨22px¨»=«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨22px¨»V«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨22px¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨22px¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨22px¨»cos«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨22px¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨22px¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨22px¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨22px¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨22px¨»t«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨22px¨»§#160;«/mo»«/menclose»«/mstyle»«/math»

נבטא את זמן התנועה מהתנועה האופקית: 

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle indentalign=¨left¨ mathsize=¨22px¨»«mrow mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»X«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»V«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»cos«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»t«/mi»«/mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»§#8658;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»t«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mfrac»«mi mathvariant=¨bold¨»X«/mi»«mrow»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»V«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»cos«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mspace linebreak=¨newline¨/»«/mrow»«/mstyle»«/math»

נציב את זמן התנועה בפונקציית המקום כתלות בזמן האנכית:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle indentalign=¨left¨ mathsize=¨22px¨»«mrow mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨»Y«/mi»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»t«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»V«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»sin«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»t«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mfrac»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»g«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»t«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»t«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#FF0000¨»«mi mathvariant=¨bold¨»X«/mi»«mrow»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»V«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»cos«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mrow mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨»Y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»V«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«/menclose»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»sin«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mfrac mathcolor=¨#FF0000¨»«mi mathvariant=¨bold¨»X«/mi»«mrow»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»V«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«/menclose»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»cos«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«/mfrac»«mo mathcolor=¨#FF0000¨ mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mfrac»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»g«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mstyle mathvariant=¨bold¨»«mo stretchy=¨true¨»(«/mo»«mfrac mathcolor=¨#FF0000¨»«mi»X«/mi»«mrow»«msub»«mi»V«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«mo»§#183;«/mo»«mi»cos«/mi»«mo»(«/mo»«mi»§#945;«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mfrac»«mo stretchy=¨true¨»)«/mo»«/mstyle»«msup»«mo mathcolor=¨#FF0000¨ mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»Y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»X«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»sin«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«/mrow»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»cos«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»-«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»g«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mstyle mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»«mfrac mathcolor=¨#FF0000¨»«msup»«mi»X«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mrow»«msup»«msub»«mi»V«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#183;«/mo»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»(«/mo»«mi»§#945;«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»§#160;«/mo»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mspace linebreak=¨newline¨/»«menclose mathcolor=¨#0000FF¨ notation=¨box¨»«mi mathvariant=¨bold¨»Y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»X«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»tan«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mstyle mathvariant=¨bold¨»«mfrac»«mrow»«mi»g«/mi»«mo»§#183;«/mo»«msup»«mi»X«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#183;«/mo»«msup»«msub»«mi»V«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#183;«/mo»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»(«/mo»«mi»§#945;«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«/menclose»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mspace linebreak=¨newline¨/»«/mstyle»«/math»