פסיפס 9C - Ai

1. Cube-9C: משמעות השטח התחום בגרף V(t)

ערך השטח התחום בגרף מהירות כתלות בזמן שווה להעתק התנועה.

בפעולה המבוצעת לחישוב השטח התחום בגרף מהירות כתלות בזמן מוכפל זמן התנועה במהירות הגוף. 

מהגדרת המהירות הערך המתקבל מהכפלת המהירות בזמן התנועה שווה להעתק התנועה.

דוגמה א': בגרף הבא מתוארת תנועתו של גוף במשך שמונה שניות.

הגוף נע במהירות קבועה שגודלה 4 מטר לשנייה נחשב את העתק התנועה בעזרת הגדרת המהירות.

 «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»V«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8710;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»X«/mi»«/mrow»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8710;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#8710;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»X«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»V«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#8710;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»t«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»8«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»4«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»32«/mn»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»m«/mi»«/math»

הערך המתקבל מחישוב שטח המלבן התחום הוא גם 32 מטר. ניתן לראות שהשטח התחום שווה להעתק התנועה.

דוגמה ב': בגרף הבא מתוארת תנועתו של גוף הנע במשך 6 שניות בתאוצה 1.33- מטר לשניה בריבוע.

נחשב את העתק תנועת הגוף בעזרת פונקציית המקום כתלות בזמן:

                    «math style=¨font-family:Arial¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨24px¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»+«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»t«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»+«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»t«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mfrac»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#8710;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»t«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»+«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»t«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»4«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»6«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»+«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mstyle mathvariant=¨bold¨»«mo stretchy=¨true¨»(«/mo»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo».«/mo»«mn»33«/mn»«/mrow»«mo stretchy=¨true¨»)«/mo»«/mstyle»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«msup»«mn mathvariant=¨bold¨»6«/mn»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»24«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»-«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»24«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»0«/mn»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»m«/mi»«/mstyle»«/math»

בין הפונקציה המתוארת בגרף לציר הזמן תחומים שני משולשים בעלי שטח זהה שגודלו שישה מטרים. 

בשלוש השניות הראשונות מהירות הגוף היא חיובית הגוף נע בכיוון הציר בהעתק שישה מטרים.

שלוש שניות לאחר מכן המהירות שלילית הגוף נע נגד כיוון הציר בהעתק מינוס שישה מטרים.

ניתן לקבוע שבהתאם לשטח התחום בגרף העתק התנועה שווה לאפס.

שימו לב:

1. גרף המהירות כתלות בזמן הוא הכלי השימושי ביותר בקינמטיקה, הוא מציג את מהירות הגוף בכל רגע. ערך שיפוע הגרף שווה לתאוצה וערך השטח התחום שווה להעתק.

2. למעט מיקום הגוף, ניתן ללמוד מהגרף על כל הגדלים הפיזיקליים בקינמטיקה.

   בעזרת שני הגרפים מקום כתלות בזמן ומהירות כתלות בזמן ניתן לתאר באופן מלא את תנועת הגוף.

3.בשאלות העוסקות בגוף בודד הנע בתנועות שונות נוח לתאר את תנועת הגוף בגרף מהירות כתלות בזמן ונוח להסיק מהגרף מסקנות.