פתרונות ופורומים ל"אלבום פתרונות" - תנועה מעגלית קצובה 23423
8. 2009,3 - מטוטלת קונית
______________________________________________________________________________________
...
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨20px¨»«mi mathvariant=¨bold¨»cos«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mfrac»«mi mathvariant=¨bold¨»g«/mi»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»4«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»§#960;«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»L«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mfrac»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»f«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mstyle»«/math»
עריכת תרשים כוחות , כתיבת משוואות תנועה . בנוסף יש לכתוב ביטוי גיאומטרי לרדיוס המסלול
ולבטא מביטוי זה וממשוואות התנועה את הביטוי המבוקש.
ולבטא מביטוי זה וממשוואות התנועה את הביטוי המבוקש.
על הכדור פועלים שני כוחות : כוח הכובד , וכוח המתיחות.
בהתאם למישור התנועה, למיקום נקודת מרכז הסיבוב ,הכוח הצנטריפטלי הוא הרכיב האופקי של כוח המתיחות.
נערוך תרשים כוחות לכוחות הפועלים על הכדור:
נכתוב את משוואת התנועה המעגלית ביחס לציר רדיאלי , ואת משוואת התנועה האנכית ביחס לציר אנכי שכיוונו כלפי מעלה:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#931;F«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»R«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»m«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#969;«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»R«/mi»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»T«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»X«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»m«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#969;«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»R«/mi»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«menclose mathcolor=¨#0000FF¨ notation=¨box¨»«mi mathvariant=¨bold¨»T«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»sin«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»m«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»§#969;«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»R«/mi»«/menclose»«/math» «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#931;F«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»Y«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»0«/mn»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»T«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»Y«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»W«/mi»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«menclose mathcolor=¨#0000FF¨ notation=¨box¨»«mi mathvariant=¨bold¨»T«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»cos«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»mg«/mi»«/menclose»«/math»
אם נחלק את משוואות התנועה נקבל משוואה עם טנגנס זווית נטיית החוט. ולא עם קוסינוס .
כדי לקבל משוואה עם קוסינוס , נבטא את רדיוס המסלול של משוואת התנועה המעגלית ב בעזרת פונקציית הסינוס , נצמצם את פונקציית הסינוס
ורק לאחר מכן נבצע פעולת חילוק בין משוואות התנועה.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»sin«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨»R«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»L«/mi»«/mfrac»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«menclose mathcolor=¨#0000FF¨ notation=¨circle¨»«mi mathvariant=¨bold¨»R«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»L«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»sin«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/menclose»«/math» 
נציב את ביטוי רדיוס המסלול במשוואת התנועה המעגלית:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«menclose mathcolor=¨#0000FF¨ notation=¨box¨»«mi mathvariant=¨bold¨»T«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»sin«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»m«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»§#969;«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»R«/mi»«/menclose»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»T«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«menclose mathcolor=¨#0000FF¨ notation=¨updiagonalstrike¨»«mi mathvariant=¨bold¨»sin«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/menclose»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»m«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#969;«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»L«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»§#183;«/mo»«menclose mathcolor=¨#FF0000¨ notation=¨updiagonalstrike¨»«mi mathvariant=¨bold¨»sin«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/menclose»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»T«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»m«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#969;«/mi»«mn mathcolor=¨#0000FF¨ mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»L«/mi»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»T«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»m«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«msup»«mfenced mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#960;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»f«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»L«/mi»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«menclose mathcolor=¨#0000FF¨ notation=¨box¨»«mi mathvariant=¨bold¨»T«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»m«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»4«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»§#960;«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»f«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»L«/mi»«/menclose»«/math»
נחלק בין משוואות התנועה האנכית למשוואת התנועה המעגלית , ונבטא את קוסינוס זווית נטיית החוט בתלות בהופכי של ריבוע התדירות:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mi mathvariant=¨bold¨»T«/mi»«/menclose»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»cos«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mi mathvariant=¨bold¨»T«/mi»«/menclose»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«menclose notation=¨downdiagonalstrike¨»«mi mathvariant=¨bold¨»m«/mi»«/menclose»«mi mathvariant=¨bold¨»g«/mi»«/mrow»«mrow»«menclose notation=¨downdiagonalstrike¨»«mi mathvariant=¨bold¨»m«/mi»«/menclose»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»4«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»§#960;«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»f«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»L«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«menclose mathcolor=¨#0000FF¨ notation=¨circle¨»«mi mathvariant=¨bold¨»cos«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mfrac»«mi mathvariant=¨bold¨»g«/mi»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»4«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»§#960;«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»L«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mfrac»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»f«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/menclose»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«/math»
בהתאם למישור התנועה, למיקום נקודת מרכז הסיבוב ,הכוח הצנטריפטלי הוא הרכיב האופקי של כוח המתיחות.
נערוך תרשים כוחות לכוחות הפועלים על הכדור:
נכתוב את משוואת התנועה המעגלית ביחס לציר רדיאלי , ואת משוואת התנועה האנכית ביחס לציר אנכי שכיוונו כלפי מעלה:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#931;F«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»R«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»m§#969;«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»R«/mi»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»f«/mi»«msub mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨»s«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»max«/mi»«/msub»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»m§#969;«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»R«/mi»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«menclose mathcolor=¨#0000FF¨ notation=¨box¨»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»§#956;«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»s«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»N«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»m§#969;«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»R«/mi»«/menclose»«/math» «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#931;F«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»Y«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»0«/mn»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»N«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»W«/mi»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«menclose mathcolor=¨#0000FF¨ notation=¨box¨»«mi mathvariant=¨bold¨»N«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»mg«/mi»«/menclose»«/math»
1. בכל אחת ממשוואות התנועה לא מופיע התדירות וקוסינוס הזווית.
מחילוק משוואות התנועה מתקבל ביטוי עם טנגנס הזווית והתדירות , ולא עם קוסינוס הזווית.
כאשר משוואות התנועה לא מכילות את הגודל הפיזיקלי המבוקש יש להשתמש בביטוי נוסף (לרוב גיאומטרי) , כדי להגיע לביטוי המבוקש.
2. כשם שביטוי של X , לא יכול להיות תלוי בצורתו הסופית ב X.
כך, ביטוי קוסינוס הזווית לא יכול להיות תלוי בסינוס הזווית או בטנגנס הזווית.
חייבים במקרה זה להיעזר בביטוי רדיוס המסלול «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»R«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»L«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»sin«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»)«/mo»«/math», בנוסף למשוואות התנועה.
3. יש מספר דרכים אלגבריות להגיע ממשוואות התנועה וביטוי רדיוס המסלול לביטוי המבוקש , כל הדרכים מובילות לביטוי המבוקש.
כאשר משוואות התנועה לא מכילות את הגודל הפיזיקלי המבוקש יש להשתמש בביטוי נוסף (לרוב גיאומטרי) , כדי להגיע לביטוי המבוקש.
2. כשם שביטוי של X , לא יכול להיות לוי תלוי בצורתו הסופית ב X.
כך, ביטוי קוסינוס הזווית לא יכול להיות תלוי בסינוס הזווית או בטנגנס הזווית.
חייבים במקרה זה להיעזר בביטוי רדיוס המסלול, בנוסף למשוואות התנועה.
3.
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
...
נשלים את ערכי הטבלה:
נסרטט גרף של קוסינוס זווית נטיית החוט ,בתלות בהפכי של ריבוע התדירות:
נסרטט גרף של קוסינוס זווית נטיית החוט ,בתלות בהפכי של ריבוע התדירות:
יש להשלים את ערכי הטבלה בהתאם לתדירות וזווית נטיית החוט. ולהשתמש בערכי הטבלה לתיאור המבוקש.
נמלא את הטבלה בהתאם לערכי התדירות וזווית נטיית החוט:
נסרטט גרף של קוסינוס הזווית בתלות בהופכי של ריבוע התדירות:
נמלא את הטבלה בהתאם לערכי התדירות וזווית נטיית החוט:
נסרטט גרף של קוסינוס הזווית בתלות בהופכי של ריבוע התדירות:
1. קיימת הנחיה לעגל את התוצאות לשתי נקודות אחרי הנקודה העשרונית. יש לכתוב את ערכי הטבלה בהתאם להנחיה.
2. חשוב לציין את שמות הצירים ויחידותיהם. היחידות של תדירות הם הרץ , השקולים לאחד חלקי שנייה .
לכן, היחידות של ההופכי של התדירות הם שנייה.
2. חשוב לציין את שמות הצירים ויחידותיהם. היחידות של תדירות הם הרץ , השקולים לאחד חלקי שנייה .
לכן, היחידות של ההופכי של התדירות הם שנייה.
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
...
אורך החוט הוא 1.5 מטרים.
נשווה בין ערך השיפוע בגרף לביטוי השיפוע .
מביטוי קוסינוס זווית נטיית החוט בתלות בהפכי של ריבוע התדירות «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»cos«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨»g«/mi»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»4«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»§#960;«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»L«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»f«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math» משמעות שיפוע הגרף הוא: «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨»g«/mi»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»4«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»§#960;«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»L«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»
נמצא את ערך שיפוע הפונקציה בגרף משתי נקודות הנמצאות על הישר המסתבר ביותר, נתייחס לנקודה הראשונה והחמישית:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#1513;§#1497;§#1508;§#1493;§#1506;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8710;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»c«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»o«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»s«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8710;«/mo»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»f«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mstyle»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨».«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»95«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨».«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»34«/mn»«/mrow»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»5«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨».«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»67«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨».«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»04«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨».«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»61«/mn»«/mrow»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»3«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨».«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»63«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»0«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨».«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»168«/mn»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»s«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»
נשווה בין ביטוי השיפוע מהביטוי לערכו המחושב מהגרף.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨»g«/mi»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»4«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»§#960;«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»L«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#1513;§#1497;§#1508;§#1493;§#1506;«/mi»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨»g«/mi»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»4«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»§#960;«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»L«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»0«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨».«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»168«/mn»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»L«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨»g«/mi»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»4«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»§#960;«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨».«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»168«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mn mathvariant=¨bold¨»10«/mn»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»4«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»§#960;«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨».«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»168«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨».«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»5«/mn»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»m«/mi»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«/math»
לכן, אורך החוט הוא 1.5 מטר.
נמצא את ערך שיפוע הפונקציה בגרף משתי נקודות הנמצאות על הישר המסתבר ביותר:
1. בסעיף זה כתוב בשאלה כיצד למצוא את אורך החוט . לרוב, השאלות לא מכילות הנחיות כאלו.
בד"כ בכל שאלה המכילה תיאור גרפי של פונקציה ליניארית, משיפוע הגרף ניתן למצוא את התשובה הדרושה.
2. במהלך הפתרון נעשה שימוש בערכו של השיפוע , בכל פעם שכותבים את ערכו של השיפוע יש לציין את יחידותיו.
3. יש לחשב את אורך החוט דווקא בעזרת שיפוע הגרף, ולא בעזרת משוואות התנועה.
בד"כ בכל שאלה המכילה תיאור גרפי של פונקציה ליניארית, משיפוע הגרף ניתן למצוא את התשובה הדרושה.
2. במהלך הפתרון נעשה שימוש בערכו של השיפוע , בכל פעם שכותבים את ערכו של השיפוע יש לציין את יחידותיו.
3. יש לחשב את אורך החוט דווקא בעזרת שיפוע הגרף, ולא בעזרת משוואות התנועה.
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
...
התדירות המינימאלית היא 0.4 הרץ.
לקוסינוס הזווית יש ערך מקסימאלי , לכן תדירות יש ערך מינימאלי.
הערך המקסימאלי של קוסינוס הזווית הוא 1, מהגרף ניתן למצוא את התדירות המינמאלית עבורה ערך הקוסינוס הוא 1.
הערך המקסימאלי של קוסינוס הזווית הוא 1, מהגרף ניתן למצוא את התדירות המינמאלית עבורה ערך הקוסינוס הוא 1.
הגרף מתאר את הקשר בין התדירות ל קוסינוס הזווית.
ערך קוסינוס הזווית הגדול ביותר האפשרי הוא אחד.
התדירות המינימלית היא התדירות עבורה ערך קוסינוס הזווית שווה לאחד.
מהגרף ניתן לראות שכאשר «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»cos«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»1«/mn»«/math» ערכו של «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«msup»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»f«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»min«/mi»«/msub»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math» הוא 6 שניות בריבוע.
נמצא את fmin:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«msup»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»f«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»min«/mi»«/msub»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mn mathcolor=¨#0000FF¨»6«/mn»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«msup»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»f«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»min«/mi»«/msub»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mn mathvariant=¨bold¨»6«/mn»«/mfrac»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»f«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»min«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«msqrt mathcolor=¨#0000FF¨»«mfrac»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mn mathvariant=¨bold¨»6«/mn»«/mfrac»«/msqrt»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»0«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨».«/mo»«msub»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»4«/mn»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»HZ«/mi»«/msub»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«/math»
יש לסובב את הציר בתדירות של לפחות 0.4 הרץ. בתדירות קטנה מתדירות זו לא תהיה תנועה מעגלית, תהיה תנועה אקראית.
ערך קוסינוס הזווית הגדול ביותר האפשרי הוא אחד.
התדירות המינימלית היא התדירות עבורה ערך קוסינוס הזווית שווה לאחד.
מהגרף ניתן לראות שכאשר «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»cos«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»1«/mn»«/math» ערכו של «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«msup»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»f«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»min«/mi»«/msub»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math» הוא 6 שניות בריבוע.
נמצא את fmin:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«msup»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»f«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»min«/mi»«/msub»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mn mathcolor=¨#0000FF¨»6«/mn»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«msup»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»f«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»min«/mi»«/msub»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mn mathvariant=¨bold¨»6«/mn»«/mfrac»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»f«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»min«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«msqrt mathcolor=¨#0000FF¨»«mfrac»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mn mathvariant=¨bold¨»6«/mn»«/mfrac»«/msqrt»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»0«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨».«/mo»«msub»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»4«/mn»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»HZ«/mi»«/msub»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«/math»
יש לסובב את הציר בתדירות של לפחות 0.4 הרץ. בתדירות קטנה מתדירות זו לא תהיה תנועה מעגלית, תהיה תנועה אקראית.
1. הערך של פונקציות הקוסינוס והסינוס מוגבל ל אחד. ערכם לא יכול להיות גדול מ אחד או קטן ממינוס אחד.
וכדי שערך הסינוס או הקוסינוס לא יהיה גדול מאחד בכל ביטוי בו הם מופיעים חייבת להיות מוגבלות נוספת .
לדוגמה במשולש ישר זווית מתקיים: «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»sin«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#FF0000¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#1492;§#1494;§#1493;§#1493;§#1497;§#1514;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#1502;§#1493;§#1500;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#1504;§#1497;§#1510;§#1489;«/mi»«/mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»§#1497;§#1514;§#1512;«/mi»«/mfrac»«/math» , ערכו המקסימאלי «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»sin«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»)«/mo»«/math» הוא אחד.
הערך המקסימאלי של «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac mathcolor=¨#FF0000¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#1492;§#1494;§#1493;§#1493;§#1497;§#1514;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#1502;§#1493;§#1500;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#1504;§#1497;§#1510;§#1489;«/mi»«/mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»§#1497;§#1514;§#1512;«/mi»«/mfrac»«/math» גם חייב להיות אחד, וזה מתקיים מכיוון שהניצב מול הזווית מוגבל, הוא לא יכול להיות גדול מהיתר.
2. למרות שבכל ביטוי בו מופיע סינוס או קוסינוס קיימת מוגבלות לפחות בגודל פיזיקלי אחד , לרוב לא מתעמקים במגבלות זאת.
3. כדי למצוא את ערכו הקיצוני האפשרי של הגודל הפיזיקלי המוגבל יש להשוות את ערך הסינוס או הקוסינוס לאחד.
4. הביטוי המתמטי לא מתאר רק את הקשר בין הגדלים הפיזיקליים הוא מתאר בצורה עקיפה גם את ערכם המקסימאלי או המינימאלי.
5. מעבר למוגבלות המתמטית , תמיד קיים גם היגיון פיזיקלי למוגבלות זאת.
במקרה זה , כאשר הציר מסתובב בתדירות קטנה מידי הכדור יהיה צמוד למוט .
כאשר תדירות הסיבוב תגדל הכדור יתנתק מהמוט אך הוא לא ינוע בתנועה מעגלית.
רק כאשר המוט יסתובב בתדירות גדולה מ 0.4 הרץ תתקיים תנועה מעגלית.
6. פונקציית הטנגנס לא מוגבלת לערך כלשהו , אך היא לא מוגדרת ב 90 מעלות.
בכל ביטוי בו מופיע פונקציית הטנגנס אין אפשרות מתמטית שהזווית בטנגנס תהיה 90 מעלות.
בכל מקרה כזה , יש היגיון פיזיקלי לכך שהזווית לא תהיה 90 . (כמו בגוף תלוי המשמש כמד תאוצה).
וכדי שערך הסינוס או הקוסינוס לא יהיה גדול מאחד בכל ביטוי בו הם מופיעים קיימת מוגבלות גם בגדלים אחרים .
לדוגמה במשולש ישר זווית מתקיים: «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»sin«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#FF0000¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#1492;§#1494;§#1493;§#1493;§#1497;§#1514;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#1502;§#1493;§#1500;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#1504;§#1497;§#1510;§#1489;«/mi»«/mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»§#1497;§#1514;§#1512;«/mi»«/mfrac»«/math» , ערכו המקסימאלי «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»sin«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»)«/mo»«/math» הוא אחד.
הערך המקסימאלי של «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac mathcolor=¨#FF0000¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#1492;§#1494;§#1493;§#1493;§#1497;§#1514;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#1502;§#1493;§#1500;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#1504;§#1497;§#1510;§#1489;«/mi»«/mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»§#1497;§#1514;§#1512;«/mi»«/mfrac»«/math» גם חייב להיות אחד, וזה מתקיים מכיוון שהניצב מול הזווית לא יכול להיות גדול מהיתר.
2. למרות שבכל ביטוי בו מופיע סינוס או קוסינוס קיימת מוגבלות לפחות בגודל פיזיקלי אחד , לרוב לא מתעמקים במגבלות זאת.
כדי למצוא את ערכו הקיצוני האפשרי של הגודל הפיזיקלי המוגבל יש להשוות את ערך הסינוס או הקוסינוס לאחד.
3. הביטוי המתמטי לא מתאר רק את הקשר בין הגדלים הפיזיקליים הוא מתאר את ערכם המקסימאלי או המינימאלי.
4. מעבר למוגבלות המתמטית , תמיד קיים גם היגיון פיזיקלי למוגבלות זאת.
במקרה זה , כאשר הציר מסתובב במהירות קטנה מידי הכדור יהיה צמוד למוט .
כאשר תדירות הסיבוב תגדל הכדור יתנתק מהמוט אך הוא לא ינוע בתנועה מעגלית. רק בתדירות גדולה מ 0.4 הרץ תתקיים תנועה מעגלית.
5. פונקציית הטנגנס לא מוגבלת לערך כלשהו , אך היא לא מוגדרת ב 90 מעלות. בכל ביטוי בו מופיע פונקציית הטנגנס אין משמעות לזווית של 90 מעלות.
בכל מקרה כזה יש היגיון פיזיקלי לכך שהזווית לא תהיה 90 . (כמו בגוף תלוי המשמש כמד תאוצה).
______________________________________________________________________________________