פתרונות ופורומים ל"אלבום פתרונות" - דינמיקה בקו ישר 23423

החתול נע מנקודה A לנקודה B . תארנו את תנועתו בגרף מהירות בתלות בזמן.

בגרף מהירות בתלות בזמן משמעות השטח התחום הוא העתק התנועה , לכן כדי למצוא את המרחק בין נקודה A לנקודה B , נחשב את השטח התחום בגרף:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#8710;«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»5«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»8«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»*«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«msub mathcolor=¨#0000FF¨»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»13«/mn»«mi mathvariant=¨bold¨»m«/mi»«/msub»«/math»

1. אפשר לחשב את השטח התחום בעזרת הנוסחה לשטח טרפז:

                                                  «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub mathcolor=¨#FF0000¨»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#FF0000¨»S«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»§#1496;§#1512;§#1508;§#1494;«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#FF0000¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#1492;§#1502;§#1511;§#1489;§#1497;§#1500;§#1493;§#1514;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#1492;§#1510;§#1500;§#1506;§#1493;§#1514;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#1505;§#1499;§#1493;§#1501;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»*«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#1492;§#1496;§#1512;§#1508;§#1494;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#1490;§#1493;§#1489;§#1492;«/mi»«/mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mfrac»«/math»

    אפשר לחלק את הטרפז לשלושה חלקים :שני משולשים ומלבן ,שטח הטרפז שווה לסכום שלושת השטחים.

2. מרחק התנועה דומה להעתק התנועה ,אך הוא לא יכול להיות שלילי . המרחק הוא הערך המוחלט של העתק.

כוח החיכוך גורם לצעצוע לנוע במהירות הולכת וקטנה, הצעצוע נע בתאוצה שלילית קבועה בגודלה.

נתייחס לתנועת הצעצוע מרגע שהתחיל לנוע מנקודה B ועד שהגיע לנקודה A.

המרחק בין נקודה  B לנקודה A הוא 13 מטר- לכן העתק תנועתו הוא 13 מטר.

זמן תנועת הצעצוע קטן מזמן תנועת החתול בשנייה וחצי- לכן זמן תנועת הצעצוע הוא 6.5 שניות.

הצעצוע נע עד שהוא מגיע לנקודה B - לכן מהירות הצעצוע בנקודה B היא אפס.

נשתמש בפונקציית מקום בתלות בזמן , המתאימה לתנועה בתאוצה קבועה:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«msub mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»+«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«/mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»t«/mi»«/math»

נבטא מפונקציה זו את המהירות ההתחלתית:

                                                                             «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨20px¨»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#8710;«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»V«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»V«/mi»«/mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»t«/mi»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#8710;«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfenced mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»V«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»V«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»t«/mi»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#8710;«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«msub mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»V«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»t«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»+«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»V«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»t«/mi»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«menclose mathcolor=¨#0000FF¨ notation=¨circle¨»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»V«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8710;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»V«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»t«/mi»«/mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»t«/mi»«/mfrac»«/menclose»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«/mstyle»«/math»

נציב את הנתונים בביטוי שפיתחנו , ונימצא את המהירות ההתחלתית:

על הצעצוע פועלים שלושה כוחות: כוח הכובד כלפי מטה, כוח הנורמל כלפי מעלה. וכוח החיכוך הקינטי בכיוון נגדי לתנועה.

נערוך תרשים כוחות:

כדי למצוא את מקדם החיכוך, נכתוב את משוואות התנועה:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#931;F«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»0«/mn»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«menclose mathcolor=¨#0000FF¨ notation=¨box¨»«mi mathvariant=¨bold¨»N«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»mg«/mi»«/menclose»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«/math»          «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable mathcolor=¨#0000FF¨ columnalign=¨right¨»«mtr»«mtd»«mi mathvariant=¨bold¨»§#931;«/mi»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»F«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»ma«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«menclose notation=¨box¨»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»f«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»k«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»ma«/mi»«/menclose»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

כוח החיכוך הקינטי תלוי במקדם החיכוך הקינטי והנורמל לפי :  «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨20px¨»«msub mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»f«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»k«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«msub mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#956;«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»k«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»N«/mi»«/mstyle»«/math»

נבטא מהגדרת כוח החיכוך הקינטי וממשוואות התנועה את מקדם החיכוך הקינטי:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨20px¨»«msub mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#956;«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»k«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»f«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»k«/mi»«/msub»«mi mathvariant=¨bold¨»N«/mi»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»m«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«/mrow»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»m«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»g«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«/mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»g«/mi»«/mfrac»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«menclose mathcolor=¨#0000FF¨ notation=¨circle¨»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»§#956;«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»k«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mfrac»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»g«/mi»«/mfrac»«/menclose»«/mstyle»«/math»

כדי למצוא את מקדם החיכוך נחשב את תאוצת הצעצוע :

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»v«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«msub mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»+«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»a«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»t«/mi»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«/mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»t«/mi»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»4«/mn»«/mrow»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»6«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨».«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»5«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»-«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mn mathvariant=¨bold¨»8«/mn»«mn mathvariant=¨bold¨»13«/mn»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»-«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»0«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨».«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»615«/mn»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨»m«/mi»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»s«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»

כדי למצוא את מקדם החיכוך נציב את תאוצת הצעצוע בביטוי מקדם החיכוך:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#956;«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»k«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»-«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»g«/mi»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»-«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mstyle mathvariant=¨bold¨ displaystyle=¨true¨»«mn»0«/mn»«mo».«/mo»«mn»615«/mn»«/mstyle»«/mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»10«/mn»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»0«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨».«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»0615«/mn»«/math»

בציר Y ישנו שקול כוחות ומכאן ש:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«munder mathcolor=¨#0000FF¨»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8721;«/mo»«mrow»«/mrow»«/munder»«msub mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»F«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»N«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»-«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»m«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»g«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»0«/mn»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#8658;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»{«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»}«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»N«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»m«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»g«/mi»«/math»

בציר X נקבל ש:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced mathcolor=¨#0000FF¨ open=¨¨ close=¨}¨»«mtable columnalign=¨right¨»«mtr»«mtd»«mfenced open=¨¨ close=¨}¨»«mtable columnalign=¨right¨»«mtr»«mtd»«munder»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8721;«/mo»«mrow»«/mrow»«/munder»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»F«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»f«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»k«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»m«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»f«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»k«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»§#956;«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»k«/mi»«/msub»«mi mathvariant=¨bold¨»N«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8658;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»§#956;«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»k«/mi»«/msub»«mi mathvariant=¨bold¨»N«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»m«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo mathvariant=¨bold¨»{«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»}«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»N«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»m«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»g«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»-«/mo»«msub mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#956;«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»k«/mi»«/msub»«menclose mathcolor=¨#0000FF¨ notation=¨updiagonalstrike¨»«mi mathvariant=¨bold¨»m«/mi»«/menclose»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»g«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«menclose mathcolor=¨#0000FF¨ notation=¨updiagonalstrike¨»«mi mathvariant=¨bold¨»m«/mi»«/menclose»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»a«/mi»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#8658;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»{«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»}«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«msub mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#956;«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»k«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»-«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»g«/mi»«/mfrac»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«/math»

נמצא את תאוצת הצעצוע בעזרת משוואת התנועה עבור תנועה שוות-תאוצה:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»v«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«msub mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»+«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»a«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»t«/mi»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#8658;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»{«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»3«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»}«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«/mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»t«/mi»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»4«/mn»«/mrow»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»6«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨».«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»5«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»-«/mo»«msub mathcolor=¨#0000FF¨»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mn mathvariant=¨bold¨»8«/mn»«mn mathvariant=¨bold¨»13«/mn»«/mfrac»«mfrac»«mi mathvariant=¨bold¨»m«/mi»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»s«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/msub»«/math»

נציב את {3} ב-{2} ונקבל ש:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#956;«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»k«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»-«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»g«/mi»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»-«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mstyle displaystyle=¨true¨ mathvariant=¨bold¨»«mfrac»«mn»8«/mn»«mn»13«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»10«/mn»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mn mathvariant=¨bold¨»4«/mn»«mn mathvariant=¨bold¨»65«/mn»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»0«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨».«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»0615«/mn»«/math»

בציר Y ישנו שקול כוחות ומכאן ש:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«munder mathcolor=¨#0000FF¨»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8721;«/mo»«mrow»«/mrow»«/munder»«msub mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»F«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»N«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»-«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»m«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»g«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»0«/mn»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#8658;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»{«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»}«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»N«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»m«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»g«/mi»«/math»

בציר X נקבל ש:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced mathcolor=¨#0000FF¨ open=¨¨ close=¨}¨»«mtable columnalign=¨right¨»«mtr»«mtd»«mfenced open=¨¨ close=¨}¨»«mtable columnalign=¨right¨»«mtr»«mtd»«munder»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8721;«/mo»«mrow»«/mrow»«/munder»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»F«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»f«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»k«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»m«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»f«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»k«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»§#956;«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»k«/mi»«/msub»«mi mathvariant=¨bold¨»N«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8658;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»§#956;«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»k«/mi»«/msub»«mi mathvariant=¨bold¨»N«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»m«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo mathvariant=¨bold¨»{«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»}«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»N«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»m«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»g«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»-«/mo»«msub mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#956;«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»k«/mi»«/msub»«menclose mathcolor=¨#0000FF¨ notation=¨updiagonalstrike¨»«mi mathvariant=¨bold¨»m«/mi»«/menclose»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»g«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«menclose mathcolor=¨#0000FF¨ notation=¨updiagonalstrike¨»«mi mathvariant=¨bold¨»m«/mi»«/menclose»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»a«/mi»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#8658;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»{«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»}«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«msub mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#956;«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»k«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»-«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»g«/mi»«/mfrac»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«/math»

נמצא את תאוצת הצעצוע בעזרת משוואת התנועה עבור תנועה שוות-תאוצה:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»v«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«msub mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»+«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»a«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»t«/mi»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#8658;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»{«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»3«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»}«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«/mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»t«/mi»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»4«/mn»«/mrow»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»6«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨».«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»5«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»-«/mo»«msub mathcolor=¨#0000FF¨»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mn mathvariant=¨bold¨»8«/mn»«mn mathvariant=¨bold¨»13«/mn»«/mfrac»«mfrac»«mi mathvariant=¨bold¨»m«/mi»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»s«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/msub»«/math»

נציב את {3} ב-{2} ונקבל ש:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#956;«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»k«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»-«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»g«/mi»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»-«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mstyle displaystyle=¨true¨ mathvariant=¨bold¨»«mfrac»«mn»8«/mn»«mn»13«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»10«/mn»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mn mathvariant=¨bold¨»4«/mn»«mn mathvariant=¨bold¨»65«/mn»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»0«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨».«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»0615«/mn»«/math»

1. תאוצה- תשתנה , מקדם החיכוך גדל לכן כוח החיכוך גדל ומהחוק השני של ניוטון גם התאוצה תגדל.

2. זמן עד לעצירה - משתנה , התאוצה יותר שלילית, שינוי המהירות בכל שנייה גדול יותר ,באותו שינוי מהירות  זמן התנועה עד לעצירה יהיה קטן יותר.

3. מרחק עד לעצירה- משתנה , התאוצה יותר שלילית. זמן התנועה עד לעצירה קטן יותר לכן גם המרחק עד לעצירה יהיה קטן יותר.

4. המהירות הממוצעת- לא תשתנה,  המהירות הממוצעת נתונה לפי ממוצע חשבוני פשוט:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»v«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»§#1502;§#1502;§#1493;§#1510;§#1506;«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«/mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mfrac»«/math»

 בשני המקרים המהירויות ההתחלתיות והמהירות הסופיות זהות , לכן גם המהירות הממוצעת זהה. 

לסיכום : רק המהירות הממוצעת (אפשרות 4) לא משתנה.