אלבום פתרונות - קינמטיקה בקו ישר 23423
24. 1988,1-גרף מהירות זמן,קו ישר
______________________________________________________________________________________
...
יש לחשב את מהגרף את התאוצה בכל קטעי התנועה בהן התאוצה שונה, ובהתאם לתאר את גרף התאוצה בתלות בזמן.
בגרף מהירות בתלות בזמן, משמעות שיפוע הפונקציה היא התאוצה.
קיימים בגרף ארבעה שיפועים שונים, נמצא כל אחת מארבעת התאוצות:
נמצא את התאוצה בזמנים
:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨20px¨»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»0«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#60;«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#00007F¨»t«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#60;«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»2«/mn»«/mstyle»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨20px¨»«msub mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8710;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/msub»«/mrow»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8710;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»t«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/msub»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»4«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»1«/mn»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨»m«/mi»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»s«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mstyle»«/math»
נמצא את התאוצה בזמנים
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨20px¨»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#60;«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#00007F¨»t«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#60;«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»5«/mn»«/mstyle»«/math» :
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨20px¨»«msub mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8710;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msub»«/mrow»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8710;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»t«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msub»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»4«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»4«/mn»«/mrow»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»5«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«mn mathvariant=¨bold¨»3«/mn»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»0«/mn»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨»m«/mi»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»s«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mstyle»«/math»
נמצא את התאוצה בזמנים
:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨20px¨»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»5«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#60;«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#00007F¨»t«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#60;«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»10«/mn»«/mstyle»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨20px¨»«msub mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»3«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8710;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»3«/mn»«/msub»«/mrow»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8710;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»t«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»3«/mn»«/msub»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»6«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»4«/mn»«/mrow»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»10«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»5«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»10«/mn»«/mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»5«/mn»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»-«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»2«/mn»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨»m«/mi»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»s«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mstyle»«/math»
נמצא את התאוצה בזמנים
:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨20px¨»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»10«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#60;«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#00007F¨»t«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#60;«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»17«/mn»«/mstyle»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨20px¨»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»4«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8710;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»4«/mn»«/msub»«/mrow»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8710;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»t«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»4«/mn»«/msub»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»6«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»16«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»10«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mn mathvariant=¨bold¨»6«/mn»«mn mathvariant=¨bold¨»6«/mn»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»1«/mn»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨»m«/mi»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»s«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mstyle»«/math»
נתאר את התנועה בגרף תאוצה בתלות בזמן:
קיימים בגרף ארבעה שיפועים שונים, נמצא כל אחת מארבעת התאוצות:
נמצא את התאוצה בזמנים undefined :
undefined
נמצא את התאוצה בזמנים undefined :
undefined
נמצא את התאוצה בזמנים undefined :
undefined
נמצא את התאוצה בזמנים undefined :
undefined
נתאר את התנועה בגרף תאוצה בתלות בזמן:
גרף המהירות בתלות בזמן הוא תאורטי בלבד, לא יכול להתקיים במציאות מכיוון שהמהירות לא משתנה ב 0 שניות. בהתאם לגרף מהירות זמן זה , מתקבל גרף תאוצה זמן שהתאוצה בו לא מוגדרת בזמנים בהם היא משתנה. לפעמים התרגילים בשאלוני הבגרות בנויים כך שהם יותר נוחים לפתרון ופחות מציאותיים.
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
...
ברגע t=7s.
יש להבין מהגרף כיצד הגוף נע.
ברגע t=0s הגוף נמצא בנקודה A, הוא נע ימינה כל עוד ערך המהירות חיובי , והוא נע שמאלה כל עוד ערך המהירות שלילי. מהגרף ניתן לראות שהגוף נע ימינה עד לרגע t=7s . ולאחר מכן המהירות שלילית הגוף נע שמאלה. לכן ברגע t=7s הגוף נמצא במרחק המקסמאלי ימינה מהנקודה A.
1. חשוב להבין את התנועה כולה מתחילתה ועד סופה בעזרת הגרף.
2. כל עוד המהירות חיובית הגוף נע בכיוון הציר גם כאשר הפונקציה יורדת!
3. לאחר רגע t=15s , הגוף שוב נע בכיוון הציר , אך לזמן קצר.
2. כל עוד המהירות חיובית הגוף נע בכיוון הציר גם כאשר הפונקציה יורדת!
3. לאחר רגע t=15s , הגוף שוב נע בכיוון הציר , אך לזמן קצר.
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
...
המרחק המקסימאלי ימינה מ A הוא 22 מטר.
השטח התחום בין הפונקציה לציר הזמן שווה להעתק תנועת הגוף. יש לחשב את העתק התנועה מרגע תחילת התנועה בנקודה A. ועד שהגוף מגיע לנקודה המרוחקת ביותר מימין לנקודה A.
נחשב בעזרת הגרף את העתק התנועה במשך 7 השניות הראשונות לתנועה.
העתק זה שווה לשטח התחום בין הפונקציה לציר הזמן בשבע השניות הראשונות:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨20px¨»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#8710;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»X«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#007F00¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»+«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»3«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»§#183;«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»4«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»+«/mo»«mfrac mathcolor=¨#7F007F¨»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»4«/mn»«/mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»6«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»+«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»12«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»+«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#7F007F¨»4«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»22«/mn»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»m«/mi»«/mstyle»«/math»
לכן ברגע t=7s הגוף נמצא 22 מטרים מימין לנקודה A.
העתק זה שווה לשטח התחום בין הפונקציה לציר הזמן בשבע השניות הראשונות:
undefined
ניתן גם לכתוב פונקציית מקום זמן לכל אחד משלושת קטעי התנועה , למצוא את ההעתק בכל אחד מהקטעים ולסכום את שלושת העתקים .
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
...
ברגע t=16s , מרחק הגוף שמאלה מהנקודה A הוא מקסימאלי, מיקום הגוף ברגע זה ,הוא 2 מטר משמאל לנקודה A.
יש למצוא את המרחק שעבר הגוף שמאלה עד רגע t=16s כדי להעריך את מיקומו ברגע t=16s.
ברגע t=7s , הגוף ממוקם במרחק הגדול ביותר ימינה מהנקודה A במיקום x=22m , לאחר מכן נע הגוף במשך 9 שניות שמאלה.
ברגע t=16s הגוף ממוקם בנקודה השמאלית ביותר לנקודה A.
השטח התחום בין הציר לפונקציה ב 9 שניות אלו שווה להעתק שעובר הגוף שמאלה. נחשב העתק זה, בעזרת חישוב שטח משולש:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨20px¨»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#8710;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»X«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»9«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»6«/mn»«/mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»27«/mn»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»m«/mi»«/mstyle»«/math»
הגוף נע במשך 7 שניות ימינה עד ל x=22m , ולאחר מכן נע הגוף במשך 9 שניות שמאלה במרחק 27 מטר(העתק שלילי) לכן ברגע t=16s המרחק המקסימאלי , אליו מגיע הגוף משמאל לנקודה A הוא חמישה מטרים.
ברגע t=15s הגוף ממוקם בנקודה השמאלית ביותר לנקודה A.
השטח התחום בין הציר לפונקציה ב 8 שניות אלו שווה להעתק שעובר הגוף שמאלה. נחשב העתק זה, בעזרת חישוב שטח משולש:
undefined
הגוף נע במשך 7 שניות ימינה עד ל x=22m , ולאחר מכן נע הגוף במשך 8 שניות שמאלה במרחק 24 מטר(העתק שלילי) לכן ברגע t=15s מיקום הגוף הוא x=2m , זה המרחק המקסימאלי , אליו מגיע הגוף משמאל לנקודה A.
הגוף נע בתנועות שונות ובכיוונים שונים, הגרף הנתון הוא גרף של מהירות והשאלה עוסקת במיקום, לכן מאוד חשוב להבין את כל התנועה , ובמידת הצורך להגדיר ציר בדומה לציר המוגדר בתנועה ולעשות סימולציה של התנועה על הציר. עם גוף כלשהו. ורק לאחר שמבינים היטב את התנועה , להתחיל לפתור את השאלה.
______________________________________________________________________________________