פתרונות ופורומים ל"אלבום פתרונות" - תנועה הרמונית פשוטה
6. 2007,5 תה"פ קפיץ אנכי נתון גרף v(t)
______________________________________________________________________________________
...
תלמיד א' צודק.
מגרף המהירות הנתון ומכיוון ציר את התנועה ניתן להבין כיצד המשקולת נעה.
מהמיקום ההתחלתי ניתן לדעת מה אורך הקפיץ ההתחלתי.
מהמיקום ההתחלתי ניתן לדעת מה אורך הקפיץ ההתחלתי.
נערוך תרשים כללי למשקולת ולנקודות הקצה. נסמן את נקודת הקצה התחתונה ב A ואת נקודת הקצה העליונה ב B.
מהגרף ניתן לראות שברגע תחילת התנועה מהירות המשקולת היא אפס. יש רק שתי מקומות בהן מהירות הגוף היא אפס בנקודת הקצה העליונה או בנקודת הקצה התחתונה.
בתחילת התנועה המהירות חיובית, זה אומר שהמשקולת נעה בכיוון הציר . כיוון הציר הוא כלפי מעלה לכן המשקולת נעה בתחילה כלפי מעלה.
מכיוון שהמשקולת נעה בהתחלה כלפי מעלה ניתן לקבוע שהיא מתחילה לנוע מנקודת הקצה התחתונה. לכן תלמיד א' צודק.
מהגרף ניתן לראות שברגע תחילת התנועה מהירות המשקולת היא אפס. יש רק שתי מקומות בהן מהירות הגוף היא אפס בנקודת הקצה העליונה או בנקודת הקצה התחתונה.
בתחילת התנועה המהירות חיובית, זה אומר שהמשקולת נעה בכיוון הציר . כיוון הציר הוא כלפי מעלה לכן המשקולת נעה בתחילה כלפי מעלה.
מכיוון שהמשקולת נעה בהתחלה כלפי מעלה ניתן לקבוע שהיא מתחילה לנוע מנקודת הקצה התחתונה. לכן תלמיד א' צודק.
1. הניסוח :"הכיוון החיובי של ציר המהירות מייצג תנועה של המשקולת כלפי מעלה". הוא ניסוח פחות נפוץ.
הכוונה שכאשר ערך המהירות חיובי המשקולת נעה כלפי מעלה .
2. לא כתוב במפורש בשאלה שהתנועה היא תנועה הרמונית פשוטה. אין צורך להוכיח שהתנועה היא הרמונית.
הנימוק מבוסס על הגרף ועל כיוון הציר ולא על הפונקציות של תה"פ.
הכוונה שכאשר ערך המהירות חיובי המשקולת נעה כלפי מעלה .
2. לא כתוב במפורש בשאלה שהתנועה היא תנועה הרמונית פשוטה. אין צורך להוכיח שהתנועה היא הרמונית.
הנימוק מבוסס על הגרף ועל כיוון הציר ולא על הפונקציות של תה"פ.
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
...
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨bold¨»f«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨».«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»083«/mn»«mi mathvariant=¨bold¨»Hz«/mi»«/math»
התדירות מוגדרת כאחד חלקי זמן המחזור , מהגרף ניתן ללמוד על זמן המחזור.
מהגרף ניתן לראות שזמן המחזור הוא 12 שניות . נחשב את תדירות התנודות:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»f«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mi mathvariant=¨bold¨»T«/mi»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mn mathvariant=¨bold¨»12«/mn»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»0«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨».«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»083«/mn»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»Hz«/mi»«/math»
תדירות התנודות היא 0.083 הרץ.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»f«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mi mathvariant=¨bold¨»T«/mi»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mn mathvariant=¨bold¨»12«/mn»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»0«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨».«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»083«/mn»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»Hz«/mi»«/math»
תדירות התנודות היא 0.083 הרץ.
זמן מחזור מתאר את הזמן שעובר עד שהתנועה חוזרת על עצמה , יש ללמוד על מחזוריות התנועה
מפונקציית המקום בתלות בזמן .
בכל שלושת פונקציות התה"פ מקום זמן מהירות זמן ותאוצה זמן המקדם של t הוא ω , לכן לשלושת פונקציות אלו זמן
מחזור זהה. מחזוריות פונקציית המהירות זמן זהה למחזוריות פונקציית המקום זמן.
לכן ניתן למצוא את זמן המחזור מגרף מהירות זמן של תנועה הרמונית פשוטה.
מפונקציית המקום בתלות בזמן .
בכל שלושת פונקציות התה"פ מקום זמן מהירות זמן ותאוצה זמן המקדם של t הוא ω , לכן לשלושת פונקציות אלו זמן
מחזור זהה. מחזוריות פונקציית המהירות זמן זהה למחזוריות פונקציית המקום זמן.
לכן ניתן למצוא את זמן המחזור מגרף מהירות זמן של תנועה הרמונית פשוטה.
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
...
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨bold¨»A«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨».«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»19«/mn»«mi mathvariant=¨bold¨»m«/mi»«/math»
שימוש בפונקציות התה"פ.
צורת גרף המהירות בתלות בזמן נראית כצורת גל סינוס. בדומה גרף מהירות זמן של גוף הנע בתנועה הרמונית פשוטה.
נניח שהמשקולת נעה בתנועה הרמונית פשוטה.
בתחילת התנועה המהירות חיובית , המשקולת נעה מנקודת הקצה התחתונה כלפי מעלה בכיוון הציר.
מכאן שכיוון ציר התנועה הנבחר הוא כלפי מעלה.
נוסיף את ציר התנועה ,לפני שנשתמש בפונקציות התה"פ:
נשתמש בפונקציית המהירות בתלות בזמן:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨20px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»V«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»t«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»-«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#969;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»A«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»sin«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#969;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»t«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»)«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math»
פונקציית הסינוס משתנה בין 1 למינוס 1 . גודל המהירות המקסימאלית נתונה לפי:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨24px¨»«mrow»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»V«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»max«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#969;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»A«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
נמצא את המשרעת מביטוי המהירות המקסימאלית:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨20px¨»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»V«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»max«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#969;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»A«/mi»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»A«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»V«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»max«/mi»«/msub»«mi mathvariant=¨bold¨»§#969;«/mi»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»V«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»max«/mi»«/msub»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#960;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»f«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨».«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#960;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨».«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»083«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»0«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨».«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»19«/mn»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»m«/mi»«/mstyle»«/math»
משרעת התנועה היא 0.19 מטר.
נניח שהמשקולת נעה בתנועה הרמונית פשוטה.
בתחילת התנועה המהירות חיובית , המשקולת נעה מנקודת הקצה התחתונה כלפי מעלה בכיוון הציר.
מכאן שכיוון ציר התנועה הנבחר הוא כלפי מעלה.
נוסיף את ציר התנועה ,לפני שנשתמש בפונקציות התה"פ:
נשתמש בפונקציית המהירות בתלות בזמן:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»V«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»t«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»-«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#969;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»A«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»sin«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#969;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»t«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»)«/mo»«/math»
בתחילת התנועה המהירות חיובית יש לבצע התאמה לפונקציית המהירות להוסיף זווית מופע של פאי רדיאן(חצי מחזור).
או להוריד את המינוס.
1. המשקולת מתחילה לנוע מנקודת הקצה השלילית יש להוסיף זווית מופע של פאי רדיאן.
או להכפיל את פונקציות המקום זמן , מהירות זמן ותאוצה זמן במינוס אחד.
2. יש נקודת קצה חיובית ונקודת קצה שלילית אך אין דבר כזה משרעת שלילית. המשרעת היא תמיד חיובית.
3. היחידות בגרף אינן תקניות.
4. קיימת טעות נפוצה של תלמידים המתייחסים לגרף מהירות זמן כאל גרף מקום זמן
וקובעים במקרה זה שערך המשרעת 10 ס"מ.
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
...
תיאור פונקציית מקום זמן לנועה הרמונית , בהתאם למשרעת ,זמן המחזור והמיקום ההתחלתי.
המשקולת נעה מנקודת הקצה השלילית, ממקום X= - 0.19m , בזמן מחזור של 12 שניות.
נתאר את תנועת המשקולת בשתי תנודות.
נתאר את תנועת המשקולת בשתי תנודות.
1. תנודה הכוונה למחזור תנועה שלם ולא לתנועה מקצה לקצה.
2. אם אתם לא יודעים מה המשמעות של תנודה , כדאי לכתוב כיצד אתם מבינים את משמעות המילה תנודה, ולפתור בהתאם.
3. חשוב להכיר את שלושת הגרפים הנפוצים בתה"פ : מקום זמן, מהירות זמן, ותאוצה זמן.
ולדעת לערוך את שלושתם בהתאמה.
2. אם אתם לא יודעים מה המשמעות של תנודה , כדאי לכתוב כיצד אתם מבינים את משמעות המילה תנודה, ולפתור בהתאם.
3. חשוב להכיר את שלושת הגרפים הנפוצים בתה"פ : מקום זמן, מהירות זמן, ותאוצה זמן.
ולדעת לערוך את שלושתם בהתאמה.
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
...
הביטוי מתאים לתנועה בתאוצה קבועה . תה"פ היא תנועה בתאוצה משתנה.
הכרת ביטוי ריבוע המהירויות ותקפותו . והכרת תנועה הרמונית פשוטה.
ביטוי ריבוע המהירויות מתאים לתנועה בתאוצה קבועה.
תנועה הרמונית פשוטה היא תנועה בתאוצה משתנה , לכן דרך החישוב של התלמיד היא שגויה.
תנועה הרמונית פשוטה היא תנועה בתאוצה משתנה , לכן דרך החישוב של התלמיד היא שגויה.
1. מי שלומד עם יוקיוב מכיר את המושג " ביטוי ריבוע המהירויות" .אך לא כולם קוראים כך לביטוי הזה .
2. בכל קינמטיקה עסקנו בתנועה במהירות קבועה או תנועה בתאוצה קבועה .
תה"פ היא מקרה מיוחד של תנועה בתאוצה משתנה.
3. לכל ביטוי יש תקפות הנקבעת בהתאם לתקפות הנוסחאות והביטויים מהם הביטוי פותח.
ביטוי ריבוע המהירויות מבוסס על פונקציית מקום זמן ופונקציית מהירות זמן המתאימים לתנועה בתאוצה קבועה בלבד.
לכן גם ביטוי ריבוע המהירויות מתאים לתנועה בתאוצה קבועה בלבד.
4. את תקפות הביטוי ניתן להעריך גם בהתאם לקיום המשמעות של כל אחד מהגדלים הפיזיקליים בביטוי.
אם גוף נע מנקודה לנקודה בתנועה הרמונית פשוטה , יש ערך מתאים למהירות ההתחלתית וערך מתאים למהירות הסופית, יש גם ערך מתאים להעתק. אבל אין ערך מתאים לתאוצה מכיוון שתאוצת הגוף משתנה בכל נקודה .
בגלל שאין ערך מתאים לתאוצה כל הביטוי לא מתאים.
יש כאן משהו עקרוני. נחדד אותו קצת ... אדם טוען שאפשר לחשב את כמות המנורות בשוק בהתאם לכמות העגבניות המוצעות למכירה בשוק. איך? הוא טוען שכמות המנורות קטנה בדיוק פי אלף מכמות העגבניות.
אפשר לספור ולראות אם זה נכון ...
ואפשר לפסול את הנוסחה עקרונית..... כמות העגבניות המוצעות למכירה משתנה ,לעומת זאת כמות המנורות לא משתנה , לכן הנוסחה לא יכולה להיות מתאימה .
בדיוק אותו דבר...ביטוי ריבוע המהירויות לא יכול להתאים לתנועה בתאוצה משתנה.
2. בכל קינמטיקה עסקנו בתנועה במהירות קבועה או תנועה בתאוצה קבועה .
תה"פ היא מקרה מיוחד של תנועה בתאוצה משתנה.
______________________________________________________________________________________